מערכות משוואות: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור המערכות הזה מיועד לכיתה ח. מוצאים זוג אחד (x, y) שמקיים שתי משוואות לינאריות באותו זמן. משוואה לינארית אחת היא שיעור כיתות ז–ח בעמוד משלו. הקטלוג ממשיך מערכות לכיתה ט, והעמודים המפורסמים נעצרים בכיתה ח, ולכן רק העמוד הזה מקשר לכאן.

זוג אחד חייב להתאים לשני הישרים

משוואה אחת בשני נעלמים יש לה פתרונות רבים. משוואה שנייה מקצצת את הרשימה לזוג אחד, כשהישרים נחתכים פעם אחת. הזוג שמדווחים עליו חייב להיות מוצב בשתי המשוואות, לא רק בזו שהשתמשו בה אחרונה. אם הוא נכשל באחת מהן, הוא אינו פתרון המערכת.

מסלקים נעלם אחד, ואז חוזרים

מסדרים את המשוואות ומסלקים נעלם אחד. אפשר לחבר או לחסר את המשוואות כשלנעלם יש מקדמים שווים או נגדיים, או לפתור משוואה אחת לנעלם ולהציב. אחרי שיודעים ערך אחד, מציבים אותו בחזרה כדי למצוא את השני. הרמז בקטלוג זהה: מסלקים נעלם אחד, ואז מציבים בחזרה.

דוגמה פתורה 1: x + y = 10 וגם x − y = 2

פותרים את x + y = 10 ואת x − y = 2. מחברים את המשוואות. איברי y מתבטלים: 2x = 12, ולכן x = 6. מציבים במשוואה הראשונה: 6 + y = 10, ולכן y = 4. בודקים את המשוואה השנייה: 6 − 4 = 2, וזה מתאים. הפתרון הוא x = 6, y = 4. לפי המשוואה הראשונה בלבד, x = 6 ו-y = 4 הוא אחד מזוגות רבים שסכומם 10. המשוואה השנייה היא זו שבוררת את הזוג הזה.

דוגמה פתורה 2: 2x + y = 7 וגם x + y = 4

פותרים את 2x + y = 7 ואת x + y = 4. מחסרים את השנייה מהראשונה. איברי y מתבטלים: x = 3. מציבים ב-x + y = 4: 3 + y = 4, ולכן y = 1. בודקים את המשוואה הראשונה: 2 × 3 + 1 = 7. שתי המשוואות מתקיימות. הפתרון הוא x = 3, y = 1. חיסור בסדר ההפוך נותן −x = −3, וזה אותו x.

דוגמה פתורה 3: x + 2y = 8 וגם x + y = 5

פותרים את x + 2y = 8 ואת x + y = 5. מחסרים את השנייה מהראשונה: y = 3. מציבים ב-x + y = 5: x + 3 = 5, ולכן x = 2. בודקים את המשוואה הראשונה: 2 + 2 × 3 = 8. הפתרון הוא x = 2, y = 3. עצירה אחרי מציאת y ודיווח רק על y משאירים את המערכת לא גמורה. שני הנעלמים שייכים לתשובה.

בדיקות לפני שעוזבים את התרגיל

מציבים את הזוג בשתי המשוואות. כל אגף צריך להתאים. אם סילקתם נעלם, ההצבה בחזרה היא חלק מהתשובה, לא בדיקה רשות. אחר כך מתרגלים מערכות על הלוח.

שאלות נפוצות על מערכות משוואות

האם לשתי משוואות יכול להיות יותר מפתרון אחד?

זוג ישרים יכול להיות מקביל ולא להיפגש, או להיות אותו ישר. התרגילים בעמוד הזה בנויים כך שהישרים נפגשים פעם אחת, והתשובה היא זוג אחד.

האם חייבים לכתוב גם את x וגם את y?

כן. מערכת מבקשת את הזוג. x = 6 לבד לא אומר איזו נקודה על הישר האנכי הזה התכוונו. תשובת הקטלוג נראית כמו x = 6, y = 4.

במה זה שונה ממשוואה לינארית אחת?

משוואה אחת כמו 2x + 3 = 11 יש בה נעלם אחד. במערכת יש שני נעלמים ושתי משוואות שצריכות להתקיים יחד. מיומנות המשוואה האחת נשארת בעמוד המשוואות הלינאריות.