אי-שוויונות: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור האי-שוויונות הזה מיועד לכיתה ח. פותרים אי-שוויון לינארי כמו 3x − 5 > 7 ומדווחים על תחום, לא על מספר יחיד. מיומנות הקטלוג נמשכת לכיתה ט. העמודים המפורסמים נעצרים בכיתה ח, ולכן רק עמוד כיתה ח מקשר לכאן. קישור התרגול פותח את המיומנות הזו.

שומרים על איזון, ואז על הכיוון

מותר לחבר או לחסר אותו סכום בשני האגפים, כמו במשוואה. מותר לחלק במספר חיובי, וסימן האי-שוויון נשאר. התרגילים בקטלוג משתמשים במקדם חיובי של x, ולכן הסימן שאיתו מתחילים הוא הסימן שאיתו מסיימים. הפתרון הוא קבוצת מספרים. x > 4 פירושו כל מספר גדול מ-4, לא המספר 4 לבדו.

הגבול לא תמיד כלול

סימן חזק, > או <, לא כולל את הגבול. ב-3x − 5 > 7 הערך x = 4 משווה את שני האגפים, ושווה אינו גדול יותר. לכן 4 עצמו אינו פתרון. סימן ≥ או ≤ היה כולל את הגבול. קוראים את הסימן בתרגיל לפני שמעתיקים אותו לתשובה. השמטה שלו וכתיבת 4 בלבד הופכות את האי-שוויון בחזרה למשוואה.

דוגמה פתורה 1: 3x − 5 > 7

פותרים את 3x − 5 > 7. מוסיפים 5 לשני האגפים: 3x > 12. מחלקים ב-3. המקדם חיובי, ולכן הסימן נשאר: x > 4. בודקים מספר בתוך התחום ומספר מחוצה לו. x = 5 נותן 3 × 5 − 5 = 10, ו-10 > 7, ולכן 5 עובד. x = 4 נותן 7, ו-7 אינו גדול מ-7, ולכן 4 לא עובד. זה התרגיל בקטלוג. התשובה היא x > 4, לא x = 4.

דוגמה פתורה 2: 2x + 1 < 9

פותרים את 2x + 1 < 9. מחסרים 1 משני האגפים: 2x < 8. מחלקים ב-2. המקדם חיובי, ולכן הסימן נשאר: x < 4. בודקים את x = 3: 2 × 3 + 1 = 7, ו-7 < 9. בודקים את x = 4: 2 × 4 + 1 = 9, ו-9 אינו קטן מ-9. הגבול נכשל, וזה מתאים לסימן החזק. הפתרון הוא כל מספר קטן מ-4.

דוגמה פתורה 3: 4x > 12

פותרים את 4x > 12. אין איבר מחובר שצריך לבטל. מחלקים את שני האגפים ב-4: x > 3. הסימן נשאר כי 4 חיובי. בודקים את x = 3: 4 × 3 = 12, וזה אינו גדול מ-12. בודקים את x = 4: 16 > 12, ולכן 4 בפתרון. כתיבת x = 3 פותרת את המשוואה 4x = 12. האי-שוויון שואל על המספרים שהופכים את האגף השמאלי לגדול מהימני.

בדיקות לפני שעוזבים את התרגיל

מבטלים חיבור לפני החילוק, ושומרים על הסימן כשמחלקים במספר חיובי. בודקים ערך אחד שצריך לעבוד ואת הגבול שלא צריך, כשהסימן חזק. אחר כך מתרגלים אי-שוויונות על הלוח.

שאלות נפוצות על אי-שוויונות

למה התשובה אינה מספר יחיד?

אי-שוויון מתאר תחום. 3x − 5 > 7 נכון לכל x גדול מ-4. המשוואה 3x − 5 = 7 היא זו עם הפתרון היחיד x = 4.

מתי סימן האי-שוויון מתהפך?

הוא מתהפך כשכופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי. התרגילים שמקושרים מהעמוד הזה משתמשים במקדם חיובי, ולכן הסימן נשאר. הרמז בקטלוג אומר אותו דבר.

האם x = 4 הוא פתרון של x > 4?

לא. הסימן > לא כולל את הגבול. x = 4 משווה את שני האגפים, והאמירה ביקשה גדול יותר.