משפט פיתגורס: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור משפט פיתגורס הזה מיועד לכיתה ח. מוצאים את היתר של משולש ישר-זווית לפי שתי הצלעות הקצרות. מיומנות הקטלוג מופיעה גם בכיתה ט, ועמודי הכיתה באתר נעצרים בכיתה ח, ולכן רק עמוד כיתה ח מקשר לכאן. קישור התרגול פותח את המיומנות הזו.

הזווית הישרה קובעת את היתר

המשפט חל על משולש ישר-זווית, משולש עם זווית אחת של 90°. היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, והיא הצלע הארוכה ביותר. אם הצלעות הקצרות הן a ו-b, והיתר הוא c, אז a² + b² = c². מעלים בריבוע את שתי הצלעות הקצרות, מחברים את הריבועים, והסכום הוא ריבוע היתר. אורכי הצלעות עצמם לא מסתכמים ליתר.

שלשה מוכרת בודקת את החשבון

כמה שלשות של מספרים שלמים מקיימות את המשפט בדיוק. 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². הכפלת שלשה שומרת אותה שלשה: 6, 8 ו-10 היא כפולה של 3, 4 ו-5. אלה המקרים שהקטלוג שואב מהם. אם הריבועים לא מסתכמים לריבוע אחר ברשימה, בודקים מחדש איזו צלע היא היתר.

דוגמה פתורה 1: צלעות 3 ו-4

שתי הצלעות הקצרות הן 3 ו-4. מעלים בריבוע: 3² = 9 ו-4² = 16. מחברים: 9 + 16 = 25. היתר הוא המספר שהריבוע שלו הוא 25, וזה 5, כי 5² = 25. לכן היתר הוא 5. חיבור הצלעות, 3 + 4 = 7, אינו המשפט. אי-שוויון המשולש אפילו היה מרשה 7, והזווית הישרה כופה 5 במקום זאת. בודקים: 9 + 16 = 25.

דוגמה פתורה 2: צלעות 6 ו-8

שתי הצלעות הקצרות הן 6 ו-8. זה כפול משולש 3-4-5, ולכן היתר צריך להיות כפול 5, וזה 10. הריבועים מאשרים: 6² = 36 ו-8² = 64. 36 + 64 = 100, ו-10² = 100. היתר הוא 10. הכפלת כל צלע באותו מספר שומרת על הזווית הישרה ועל המשפט. לא מכפילים רק צלע אחת.

דוגמה פתורה 3: צלעות 5 ו-12

שתי הצלעות הקצרות הן 5 ו-12. מעלים בריבוע: 5² = 25 ו-12² = 144. מחברים: 25 + 144 = 169. המספר שהריבוע שלו הוא 169 הוא 13, כי 13 × 13 = 169. היתר הוא 13. החטאה קרובה היא 17, מחיבור 5 + 12. הסכום הזה ארוך יותר מהיתר בקו ישר שהזווית הישרה הזו יוצרת. הציור בקטלוג מסמן את הצלע הנעלמת מול הזווית הישרה.

בדיקות לפני שעוזבים את התרגיל

מעלים בריבוע את שתי הצלעות הקצרות, מחברים, ושואלים איזה מספר שלם בריבוע נותן את הסכום. לא מחברים את אורכי הצלעות. היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה. אחר כך מתרגלים את המיומנות על הלוח.

שאלות נפוצות על משפט פיתגורס

האם 3 + 4 שווה ליתר?

לא. 3 + 4 = 7, והיתר של משולש ישר-זווית 3-4 הוא 5. המשפט מחבר את ריבועי הצלעות, לא את הצלעות.

איזו צלע היא היתר?

הצלע שמול הזווית הישרה. היא הצלע הארוכה ביותר. שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן אלה שמעלים בריבוע ומחברים.

למה אין עמוד כיתה ט לשיעור הזה?

קטלוג התרגול ממשיך את המיומנות לכיתה ט. עמודי הכיתה המפורסמים באתר מגיעים עד כיתה ח, ולכן השיעור שומר על כתובת אחת של כיתה ח במקום עותק שני.