סדר פעולות: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור סדר הפעולות הזה מיועד לכיתות ה–ו. בכיתה ה פוגשים כמה פעולות בביטוי אחד. בכיתה ו משתמשים באותו סדר על ביטויים ארוכים יותר, כולל אחוזים בעמוד כיתה ו. שתי הכיתות מקשרות לכאן, בלי עותק נוסף של השיעור.

ביטוי אחד, סדר מוסכם אחד

ביטוי כמו 3 + 4 × 2 אפשר לקרוא ביותר מדרך אחת אם ממציאים סדר משלנו. המתמטיקה משתמשת בסדר אחד כדי שכל קורא יקבל אותו ערך. סוגריים נעשים קודם, כי הם הוראה כתובה להתייחס למה שבתוכם כאל כמות אחת. אחרי זה עושים כפל וחילוק משמאל לימין. חיבור וחיסור נעשים בסוף, גם הם משמאל לימין. לכפל אין עדיפות על חילוק, ולחיבור אין עדיפות על חיסור.

משפט זיכרון יכול לעזור, והוא גם יכול להטעות. יש תלמידים שזוכרים ראשי תיבות ואז עושים כל כפל לפני כל חילוק, גם כשהחילוק נמצא משמאל. זה לא הכלל. כפל וחילוק הם זוג. הולכים משמאל לימין ועושים את הפעולה מבין השתיים שפוגשים. אחר כך הולכים שוב משמאל לימין עבור חיבור וחיסור. האותיות מזכירות קבוצות, לא שש דרגות נפרדות.

סוגריים משנים את הקבוצות

בלי סוגריים, 3 + 4 × 2 פירושו 3 ועוד המכפלה 4 × 2. עם סוגריים, (3 + 4) × 2 פירושו הסכום 3 + 4, ואחר כך הסכום הזה כפול 2. הסימנים כמעט זהים והערכים שונים: 11 ו-14. כשמעתיקים ביטוי ללוח, מעתיקים גם את הסוגריים. מחיקה שלהם משנה את התרגיל. סוגריים בתוך סוגריים פותרים מבפנים החוצה. בביטוי 2 × (3 + (4 − 1)) עושים קודם 4 − 1, אחר כך מחברים 3, ואז כופלים ב-2.

גם קו שבר הוא סימן קיבוץ. ב-(8 + 4) / 2 הקו, או הלוכסן עם הסוגריים, אומר לחבר לפני החילוק. אם מחלקים 4 ב-2 קודם ואז מחברים 8, עונים על ביטוי אחר. כדאי לכתוב את הביטוי מחדש בצעדים קטנים במקום לחשב את כולו בראש. בכל שורה יש פעולה אחת, ואת שאר המספרים מעתיקים בלי שינוי.

דוגמה פתורה 1: כפל לפני חיבור

מחשבים את 3 + 4 × 2. אין סוגריים. הכפל בא לפני החיבור. 4 × 2 = 8. הביטוי עכשיו הוא 3 + 8. 3 + 8 = 11. לכן הערך הוא 11. הקריאה משמאל לימין 3 + 4 = 7 ואחר כך 7 × 2 = 14 היא תרגיל אחר, זה עם סוגריים סביב 3 + 4. אם התשובה היא 14, חיברתם קודם. מסמנים את הכפל, מבצעים אותו, ורק אחר כך מחברים את ה-3 שחיכה.

דוגמה פתורה 2: קודם סוגריים

מחשבים את (3 + 4) × 2. הסוגריים אומרים לחבר לפני הכפל. 3 + 4 = 7. הביטוי עכשיו הוא 7 × 2. 7 × 2 = 14. לכן הערך הוא 14. משווים לדוגמה 1. השינוי היחיד הוא הסוגריים, והערך משתנה מ-11 ל-14. לכן סימן קיבוץ חזק יותר מהכלל הרגיל של כפל לפני חיבור. הסוגריים מחליפים את הכלל הזה עבור המספרים שהם סוגרים.

דוגמה פתורה 3: משמאל לימין בתוך אותה דרגה

מחשבים את 20 − 8 ÷ 2 + 1. החילוק בקבוצה הגבוהה, ולכן עושים אותו לפני החיסור והחיבור. 8 ÷ 2 = 4. הביטוי עכשיו הוא 20 − 4 + 1. חיסור וחיבור באותה דרגה, ולכן הולכים משמאל לימין. 20 − 4 = 16. אחר כך 16 + 1 = 17. הערך הוא 17. אם עושים קודם את החיבור 4 + 1 ואז את החיסור, מקבלים 20 − 5 = 15, וזה לא נכון. משמאל לימין הוא שובר השוויון בתוך דרגה אחת. זו לא סיבה לחבר לפני שמחלקים.

שורה לכל פעולה

כותבים את הביטוי מחדש אחרי כל פעולה, ושומרים את המספרים שעדיין לא השתמשנו בהם. אם שורה משנה שתי פעולות בבת אחת, מפצלים אותה. בסוף צריך להיות אפשר להצביע על כל שורה ולומר איזו פעולה אחת היא עשתה. אחר כך מתרגלים על הלוח ביטוי חדש. מתחילים מכפל אחד ליד חיבור, אחר כך מוסיפים סוגריים, ואז מערבבים חילוק עם חיסור כדי שלכלל משמאל לימין יהיה מה לעשות.

שאלות נפוצות על סדר פעולות

האם כפל תמיד בא לפני חילוק?

לא. כפל וחילוק נעשים באותו מעבר, משמאל לימין. 8 ÷ 2 × 4 הוא 4 × 4, כלומר 16, ולא 8 ÷ 8.

האם סוגריים גוברים על כפל?

כן. מה שבתוך הסוגריים נחשב כמות אחת לפני שכופלים או מחלקים במשהו שמחוץ להם. (3 + 4) × 2 הוא 14, ואילו 3 + 4 × 2 הוא 11.

מה עם חיבור וחיסור?

גם הם זוג. אחרי שגומרים את הפעולות הגבוהות, עושים חיבור וחיסור משמאל לימין. לא עושים כל חיבור לפני כל חיסור.