חזקות: ללמוד ולתרגל

חזקה סופרת גורמים שחוזרים

חזקה אומרת כמה פעמים להשתמש במספר כגורם. ב-2 בחזקת 3, הבסיס הוא 2 והחזקה היא 3, ולכן כופלים 2 × 2 × 2. המכפלה היא 8. זה לא 2 × 3, וזה לא 2 + 2 + 2. החזקה סופרת גורמים, לא מחוברים. x בריבוע פירושו x × x. x בחזקה ראשונה הוא פשוט x, גורם אחד.

משוואה לינארית שומרת את הנעלם בחזקה ראשונה. העמוד הזה מתחיל את הצעד הבא, כשמכפלה של שני סכומים יוצרת איבר של x בריבוע. התרגול של כיתה ז פותח מכפלות כמו (x+2)(x+3).

כל איבר בסכום אחד פוגש כל איבר בסכום השני

בינום הוא סכום של שני איברים, למשל x + 2. את המכפלה של שני בינומים לא מוצאים בכפל של האיברים הראשונים בלבד ושל האיברים השניים בלבד. כל איבר בבינום הראשון כופל כל איבר בבינום השני. ב-(x + 2)(x + 3) יש ארבע מכפלות: x כפול x, x כפול 3, 2 כפול x, ו-2 כפול 3.

אחר כך מחברים את ארבע המכפלות ומאחדים איברים דומים. איברים דומים הם אלה עם אותה חזקה של x. x בריבוע נשאר x בריבוע. שני האיברים שהם מספר כפול x אפשר לחבר. המספר בלי x נשאר מספר.

דוגמה פתורה 1: חזקה של מספר שלם

מחשבים את 2 בחזקת 4. הבסיס הוא 2 והחזקה היא 4, ולכן יש ארבעה גורמים של 2. 2 × 2 = 4. 4 × 2 = 8. 8 × 2 = 16. לכן הערך הוא 16. אפשר גם לכתוב 2 × 2 × 2 × 2 ולכפול משמאל לימין. כפל הבסיס בחזקה נותן 2 × 4 = 8, וזו פעולה אחרת וערך לא נכון. חיבור הבסיס ארבע פעמים נותן גם הוא 8, וגם זה לא נכון. הבדיקה היא ספירת הגורמים: ארבעה 2 במכפלה, לא ארבעה 2 בסכום. 3 בריבוע הוא 3 × 3 = 9, לא 6.

דוגמה פתורה 2: ריבוע של סכום

פותחים את (x + 1) בריבוע, כלומר (x + 1)(x + 1). ארבע מכפלות: x כפול x הוא x בריבוע, x כפול 1 הוא x, 1 כפול x הוא x, ו-1 כפול 1 הוא 1. מחברים: x בריבוע + x + x + 1. שני האיברים האמצעיים דומים, ולכן x + x = 2x. הפתיחה היא x בריבוע + 2x + 1. טעות נפוצה היא להעלות כל איבר בריבוע ולעצור, ולכתוב x בריבוע + 1. זה מוחק את האיבר האמצעי. האיבר האמצעי נמצא שם כי כל חלק של הסכום הראשון פוגש כל חלק של הסכום השני.

דוגמה פתורה 3: פתיחת (x+2)(x+3)

פותחים את (x + 2)(x + 3). ארבע מכפלות: x כפול x הוא x בריבוע, x כפול 3 הוא 3x, 2 כפול x הוא 2x, ו-2 כפול 3 הוא 6. מחברים: x בריבוע + 3x + 2x + 6. מאחדים 3x + 2x ומקבלים 5x. הפתיחה היא x בריבוע + 5x + 6. בדיקה עם מספר: אם x הוא 1, (1 + 2)(1 + 3) = 3 × 4 = 12, ו-1 + 5 + 6 = 12. אם x הוא 0, שני האגפים הם 6. הדפוס זהה לדוגמה 2. איבר ה-x בריבוע הוא מכפלת שני איברי ה-x. המספר בסוף הוא מכפלת שני המספרים שחוברו. האיבר האמצעי מחבר את שתי המכפלות המוצלבות.

רושמים ארבע מכפלות, ואז מאחדים

כותבים את ארבע המכפלות לפני הפישוט, כדי שמכפלה מוצלבת חסרה תיראה מיד. מאחדים רק חזקות דומות. אחר כך מציבים מספר שלם קטן במקום x במכפלה המקורית ובפתיחה. שני הערכים חייבים להתאים. אחרי זה פותחים על הלוח זוג בינומים חדש.

משוואה לינארית נשארת בחזקה הראשונה של הנעלם. כאן החזקה השנייה מגיעה ממכפלת שני הבינומים, והבדיקה במספר תופסת איבר אמצעי שנשכח.

שאלות נפוצות על חזקות

האם 2 בחזקת 3 זהה ל-2 כפול 3?

לא. החזקה סופרת גורמים. 2 בחזקת 3 הוא 2 × 2 × 2, כלומר 8. 2 כפול 3 הוא 6.

למה ב-(x+2)(x+3) יש איבר של x בריבוע?

כי ה-x בבינום הראשון כופל את ה-x בבינום השני. x כפול x הוא x בריבוע. שלוש המכפלות האחרות הן 3x, 2x, ו-6.

האם מותר להעלות כל חלק בריבוע ולחבר?

לא. (x + 1) בריבוע אינו x בריבוע + 1. המכפלות המוצלבות מוסיפות איבר אמצעי, ולכן הפתיחה היא x בריבוע + 2x + 1.