שברים: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור השברים הזה מיועד לכיתות ג–ה. בכיתה ג נותנים שם לחלקים שווים ובונים שברים שקולים, בכיתה ד מחברים שברים עם אותו מכנה, ובכיתה ה מחברים שברים שהמכנים שלהם קשורים. קישור התרגול פותח חיבור לכיתה ד. אותו שיעור מקושר מכל אחד מעמודי הכיתות האלה.

שבר מתאר חלקים שווים

שבר מתאר חלק משלם אחד, או חלק מקבוצה אחת. המספר התחתון הוא המכנה. הוא אומר לכמה חלקים שווים חילקו את השלם. המספר העליון הוא המונה. הוא אומר כמה חלקים כאלה לקחנו. בשבר 3/4 השלם מחולק ל-4 חלקים שווים, וסופרים 3 מהם. חצי, שנכתב 1/2, הוא חלק אחד מתוך שני חלקים שווים. החלקים חייבים להיות באותו גודל. ארבע חתיכות לא שוות של עוגה אינן רבעים, גם אם יש ארבע חתיכות.

אפשר לראות שבר על מלבן או על ציר המספרים. על מלבן צובעים את החלקים שסופרים. על הציר, המכנה הוא מספר הקפיצות השוות מ-0 עד 1, והמונה הוא כמה קפיצות הולכים. 3/4 הוא שלוש קפיצות של רבע, ולכן הוא קרוב יותר ל-1 מאשר ל-0. כשקוראים שלושה רבעים, הקריאה מתאימה לציור.

שברים שקולים מתארים אותה כמות

שני שברים יכולים להיראות אחרת ועדיין לתאר אותה כמות. חצי ממלבן הוא אותה כמות כמו שני רבעים של אותו מלבן, ולכן 1/2 = 2/4. אלה שברים שקולים. בונים שבר שקול נוסף כשכופלים את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם. כופלים את 1/2 ב-2/2 ומקבלים 2/4. כופלים ב-3/3 ומקבלים 3/6. הכפל הוא בעצם כפל ב-1, ולכן הכמות לא משתנה. משתנה רק גודל החלקים.

צמצום הוא הכיוון ההפוך. מחלקים את המונה ואת המכנה בגורם משותף. 2/4 לחלק ל-2/2 הוא 1/2. 6/8 לחלק ל-2/2 הוא 3/4. השבר המצומצם משתמש במספרים השלמים הקטנים ביותר שעדיין מתארים את אותה כמות. שברים שקולים הם הכלי שצריך לפני חיבור שברים שהמכנים שלהם עדיין לא שווים. בכיתה ד מתחילים ממכנים שכבר שווים, ואותו רעיון מחכה גם כשהמכנים שונים.

דוגמה פתורה 1: לצבוע חצי

מלבן כבר מחולק ל-4 חלקים שווים. צובעים 1/2 מהמלבן. הציור הוא ברבעים, ולכן גם התשובה נכתבת ברבעים. חצי מ-4 חלקים הוא 2 חלקים, כי 4 ÷ 2 = 2. צובעים 2 מתוך 4 החלקים. השבר הצבוע הוא 2/4. בודקים שקילות: 2/4 = 1/2, כי חלוקת שני המספרים ב-2 נותנת 1/2. אם אותו מלבן היה מחולק לשישיות, חצי היה 3/6. בציור יש יותר קווים, והשטח הצבוע עדיין חצי מהמלבן.

דוגמה פתורה 2: חיבור חמישיות

מחברים 1/5 + 2/5. המכנים כבר שווים, ולכן החלקים באותו גודל ומותר לחבר את המונים. 1 + 2 = 3. המכנה נשאר 5, כי עדיין יש חמישיות. הסכום הוא 3/5. לא מחברים את המכנים. 1/5 + 2/5 אינו 3/10. הטעות הזו מתייחסת לשבר כאילו הוא שני מספרים שלמים נפרדים. על ציר המספרים מתחילים בחמישית הראשונה וזזים עוד שתי חמישיות. מגיעים ל-3/5, וזה פחות מ-1. אי אפשר לצמצם שלוש חמישיות, כי ל-3 ול-5 אין גורם משותף מלבד 1.

דוגמה פתורה 3: שבר מקבוצה

בשקית יש 20 תפוחים. מהו 3/4 מ-20? המילה של פירושה כפל. קודם מוצאים רבע מ-20: 20 ÷ 4 = 5. אחר כך לוקחים שלושה חלקים כאלה: 3 × 5 = 15. לכן 3/4 מ-20 תפוחים הם 15 תפוחים. אותו חישוב ככפל אחד הוא (3/4) × 20 = 60/4 = 15. שתי הדרכים מסכימות, וזו בדיקה טובה. כאן לא צריך מכנה משותף, כי לוקחים חלק ממספר שלם ולא מחברים שני שברים.

בדיקות לפני שעוזבים את התרגיל

לפני הסיום שואלים שלוש שאלות. האם החלקים שווים? האם חיברנו או השווינו מונים רק כשהמכנים שווים? האם התשובה קטנה מ-1 כשהסיפור הוא על חלק משלם אחד, או שתשובה גדולה מ-1 באמת מותרת? 5/4 הוא כמות אמיתית. זה שלם אחד ועוד רבע. אם מבקשים שבר מצומצם, מחלקים בגורם משותף עד שאי אפשר. אחר כך מתרגלים על הלוח חיבור מאותו סוג, ושם אפשר לצבוע את החלקים ולבדוק את הסכום.

שאלות נפוצות על שברים

האם שבר יכול להיות גדול מ-1?

כן. 5/4 פירושו חמישה רבעים, וזה יותר משלם אחד. אפשר לכתוב את אותה כמות גם כמספר מעורב 1 1/4. שני השמות נכונים. משתמשים בצורה שהתרגיל מבקש.

האם תמיד מצמצמים את התשובה?

מצמצמים כשמבקשים שבר מצומצם, או כשמשווים שתי תשובות. 2/4 ו-1/2 שווים. הצורה המצומצמת משתמשת במספרים השלמים הקטנים ביותר, כאן 1/2.

מה עושים אם המכנים שונים?

לא מחברים מונים לפני שהחלקים באותו גודל. משנים שם של שבר אחד כך שהמכנים שווים, ורק אז מחברים. התרגול של העמוד הזה לכיתה ד מתחיל ממכנה משותף.