משוואות לינאריות: ללמוד ולתרגל

למי מיועד השיעור

שיעור המשוואות הלינאריות הזה מיועד לכיתות ז–ח. בכיתה ז פותרים משוואה בשלב אחד, למשל 2x + 3 = 11. בכיתה ח שומרים על המיומנות הזו וממשיכים לשיפוע ולמערכות מעמוד כיתה ח. שתי הכיתות מקשרות לעמוד היחיד הזה.

שני האגפים נשארים שווים

משוואה לינארית אומרת ששני ביטויים שווים, והנעלם מופיע בחזקה ראשונה בלבד. במשוואה x + 7 = 15, x הוא הנעלם. המשימה היא למצוא את המספר שהופך את המשפט לאמיתי. מותר לחבר, לחסר, לכפול או לחלק, אבל חייבים לעשות את אותו דבר בשני האגפים. שני האגפים הם כמו שתי כפות של מאזניים. אם מורידים 7 רק מהכף השמאלית, המאזניים נוטים והמשפט כבר לא נכון.

כל פעולה מתבטלת על ידי הפעולה ההפוכה לה. חיבור מתבטל בחיסור. חיסור מתבטל בחיבור. כפל מתבטל בחילוק. חילוק מתבטל בכפל. משוואה בשלב אחד צריכה פעולה הפוכה אחת. המטרה היא להשאיר את x לבד באגף אחד ומספר באגף השני. המספר הזה הוא הפתרון. אחר כך מציבים אותו במשוואה המקורית ובודקים.

מה פירוש לינארית כאן

לינארית פירושה שהגרף של הקשר הוא קו ישר, ובמשוואות הראשונות האלה פירושה גם שהנעלם לא בריבוע ולא בתוך מכפלה עם נעלם אחר. 3x = 18 היא לינארית. x/4 = 5 היא לינארית. x בריבוע שווה 9 אינה משוואה לינארית בשלב אחד מהסוג הזה, כי הנעלם בריבוע. התרגול של כיתה ז בעמוד הזה נשאר עם פעולה אחת ליד x. משוואות מאוחרות יותר, כמו 2x + 3 = 11, צריכות שני צעדים הפוכים, והן משתמשות באותו רעיון של מאזניים.

כותבים כל מהלך בשורה נפרדת. מתחילים מהמשוואה המקורית, מראים את הפעולה ההפוכה בשני האגפים, ואז מצמצמים. דילוג על השורה מקשה למצוא טעות בסימן. אם מחסרים 7, כותבים − 7 מתחת לשני האגפים. אם מחלקים ב-3, כותבים את החילוק בשני האגפים. הלוח הוא מקום טוב לשמור את השורות האלה אחת מתחת לשנייה.

דוגמה פתורה 1: לבטל חיבור

פותרים את x + 7 = 15. ה-7 מחובר ל-x, ולכן מחסרים 7 משני האגפים. x + 7 − 7 = 15 − 7. האגף השמאלי הוא x. האגף הימני הוא 8. לכן x = 8. בדיקה במשפט המקורי: 8 + 7 = 15, וזה נכון. אם היינו מחברים 7 במקום לחסר, היינו מקבלים x = 22, ו-22 + 7 אינו 15. הבדיקה תופסת את זה. הפתרון הוא המספר 8, לא המשוואה x = 8 כחידה חדשה.

דוגמה פתורה 2: לבטל כפל

פותרים את 3x = 18. ה-3 כפול x, ולכן מחלקים את שני האגפים ב-3. 3x / 3 = 18 / 3. האגף השמאלי הוא x. האגף הימני הוא 6. לכן x = 6. בדיקה: 3 × 6 = 18. מותר לחלק ב-3 כי 3 אינו 0. אף פעם לא מחלקים את שני האגפים ב-0. שימו לב ש-3x פירושו 3 כפול x, גם כשסימן הכפל מוסתר. לפעמים מחסרים 3 ומקבלים x = 15. אז 3 × 15 הוא 45, לא 18, הבדיקה נכשלת, והפעולה ההפוכה הייתה לא נכונה.

דוגמה פתורה 3: לבטל חילוק

פותרים את x/4 = 5. הנעלם מחולק ב-4, ולכן כופלים את שני האגפים ב-4. 4 × (x/4) = 4 × 5. האגף השמאלי הוא x. האגף הימני הוא 20. לכן x = 20. בדיקה: 20 / 4 = 5. הכפל מבטל את החילוק כי 4/4 הוא 1, ו-1 כפול x הוא x. אם המשוואה הייתה x/4 = 5/2, עדיין היינו כופלים את שני האגפים ב-4, והאגף הימני היה 10. המהלך תלוי במה שקורה ל-x, לא בשאלה אם האגף השני נראה נוח.

קוראים את הפעולה שליד x

נותנים שם לפעולה שמחברת את המספר ל-x לפני החישוב. חיבור אומר לחסר את המספר. חיסור אומר לחבר את המספר. כפל אומר לחלק במספר. חילוק אומר לכפול במספר. עושים את המהלך בשני האגפים, מצמצמים, ומציבים את התוצאה במשוואה המקורית. בדיקה אמיתית היא שורת חשבון אחת, והיא שווה את השורה. אחר כך מנסים על הלוח משוואה חדשה בשלב אחד, ושומרים את שני האגפים מול העיניים בזמן העריכה.

שאלות נפוצות על משוואות לינאריות

למה משנים את שני האגפים?

המשוואה היא מאזניים. שינוי של אגף אחד בלבד הופך את שני האגפים ללא שווים, וזה משפט אחר. אותו מהלך בשני האגפים שומר על אותו פתרון.

האם x = 8 זהה ל-8 = x?

כן. שוויון נקרא בשני הכיוונים. כל אחת מהצורות אומרת שהנעלם והמספר הם אותו דבר. ברוב הכתיבות שמים את הנעלם משמאל.

מה עושים אם הבדיקה נכשלת?

הפעולה ההפוכה הייתה לא נכונה, או שהמהלך בוצע רק באגף אחד. חוזרים למשוואה המקורית ונותנים שוב שם לפעולה שליד x.